PETA KARNAUGH
Peta Karnaugh
Peta Karnaugh adalah sebuah metode untuk:
1. Menyederhanakan sebuah fungsi persamaan logika. Menyederhanakan fungsi persamaan logika sebenarnya bisa dilakukan dengan menggunakan aturan-aturan baku seperti:
· Distributif. Misalnya (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ≡ p ∧ (q ∨ r) atau (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ≡ p ∨ (q ∧ r).
· De Morgan seperti ~p ∨ ~q ≡ ~(p ∧ q) atau ~p ∧ ~q
· Hukum penyerapan seperti p ∧ (p ∨ q) ≡ p atau p ∨ (p ∧ q) ≡ p
· dll (Keterangan lengkap bisa dibaca di: http://id.wikipedia.org/wiki/Logika_matematika)
2. Mencari fungsi persamaan logika dari sebuah tabel kebenaran. Terkadang, kita memiliki sebuah tabel kebenaran (yang diperoleh dari pengumpulan kasus atau kejadian) tetapi belum memiliki persamaan logikanya sehingga sulit membuat untai rangkaian logikanya.
Permasalahan-permasalahan diatas dapat diselesaikan dengan peta karnaugh.
Peta Karnaugh
Peta karnaugh (atau K-Map) diperkenalkan oleh Maurice Karnaugh tahun 1953 (wikipedia) adalah sebuah metode untuk menyederhanakan fungsi persamaan logika sehingga (Freddy Kurniawan: Sistem Digital):
1. Menggunakan jumlah gerbang lebih sedikit sehingga waktu tunda total untai menjadi lebih kecil
2. Kemungkinan resiko kegagalan fungsi lebih kecil karena penggunaan gerbang dan perkawatan yang lebih sedikit
3. Daya total yang dikonsumsi untai logika juga akan lebih kecil.
4. Hemat biaya
Peta Karnaugh di-"ilustrasikan" seperti matrik 2 dimensi (terdiri atas baris dan kolom) dimana komponen baris dan kolom adalah masukan (input) dari sistem. Input dari masukan inilah yang kemudian disebut variabel K-Map nya. Sehingga ada sebutan K-Map 2 Peubah, K-Map 3 Peubah, 4 peubah dst.
K-Map efektif digunakan hanya sampai 6 peubah saja. Untuk peubah lebih dari 6, tidak lagi di-rekomendasikan menggunakan K-Map karena komputasinya sangat tinggi sehingga disarankan menggunakan program komputer khusus. Tutorial kali ini, saya akan membahas K-Map hingga 4 Variabel. Untuk K-Map 5 dan 6 Peubah akan dibahas pada tutorial berikutnya.
Peta Karnaugh atau Karnaugh Map atau K-Map adalah suatu teknik penyederhanaan ekspresi aljabar Boole (fungsi logika aljabar Boolean) dengan cara pemetaan yang ditemukan oleh seorang ahli fisika dan matematika bernama Maurice Karnaugh pada tahun 1953. K-map ini sering juga dikenal sebagai Karnaugh–Veitch map karena metode ini disempurnakan oleh seorang ahli komputer: Edward Veitch. Peta Karnaugh ini terdiri dari kotak-kotak dua dimensi yang disusun mengikuti aturan kode Gray dari fungsi logika rangkaian digitalnya dan tiap sel atau kotak itu berisi kode biner: 0 atau 1 yang menyatakan keadaan output dari fungsi rangkaian elektronikanya (= 1 jika outputnya aktif).
Menggambar peta karnaugh
Peta Karnaugh 2 Peubah:
Ilustrasi berikut adalah peta karnaugh 2 peubah (A dan B).
Kelompok Baris adalah masukan A dan Kelompok Kolom adalah masukan B. Tidak ada yang spesial dari aturan K-Map 2 Variabel. Anda bisa menulisnya 0 kemudian 1 (sesuai contoh) atau 1 kemudian 0.
Sekarang kita lihat tabel kebenaran dari fungsi yang akan kita buat. Asumsikan, kita tidak memiliki fungsi persamaan dari tabel kebenaran berikut dan kita akan membuatnya.
Setiap cell dari matrik (bagian tengah) akan kita isi dengan hasil atau result dari tabel kebenaran. Sebagai contoh:
Peta Karnaugh 3 Peubah:
Sedikit berbeda dengan peta karnaugh 2 peubah, K-Map 3 peubah menggunakan 2 peubah di satu rusuk dan 1 peubah di rusuk yang lain. Anda bisa membuat K-Map dengan 2 peubah di rusuk tegak, dan 1 peubah di rusuk mendatar atau sebaliknya. Perhatikan gambar:
Yang perlu diperhatikan di sini adalah penyusunan kombinasi masukan 2 peubah harus mengikuti kaidah "perubahan di satu tempat". Artinya transisi dari "0" ke "1" hanya di satu tempat saja. Sebagai contoh, kombinasi masukan dari "01" menjadi "11". Transisi yang terjadi pada kombinasi ini hanya pada masukan A (dari 0 menjadi 1) sedangkan masukan B tetap (1 tetap 1). Jadi anda tidak boleh menulis "01" kemudian "10" (seperti yang biasa anda lakukan di tabel kebenaran). Mengapa? karena jika susunan-nya "01" kemudian "10", berarti perubahan terjadi di 2 masukan, A berubah dari "0" menjadi "1" dan masukan B berubah dari "1" menjadi "0".
Seperti pada K-Map 2 peubah, isi Cell dari K-Map 3 peubah juga berisi result (hasil) dari tabel kebenaran. Sebagai contoh:
Anda boleh menggunakan K-Map yang atas atau yang bawah.
Peta Karnaugh 4 Peubah:
Untuk K-Map 4 peubah, anda dapat memasukkan 2 peubah di rusuk tegak dan 2 peubah di rusuk mendatar. Perhatikan gambar:
Minterm dan Maxterm
Minterm adalah suatu perkalian 2 variable atau lebih yang berorientasi pada nilai 1, minterm sesuai namanya disimbolkan dengan huruf m kecil, Sedangkan Maxterm adalah suatu penjumlahan 2 variable atau lebih yang berorientasi pada nilai 0, Maxterm sesuai namanya disimbolkan dengan huruf M besar, fungsi Boolean yang berhubungan dengan minterm dan Maxterm terdiri dari 2 bentuk yaitu SOP dan POS. SOP kepanjangannya adalah Sum of Product, Yang memetakan penjumlahan dari perkalian, disebut juga sebagai bentuk Minterm yang memetakan Σmi, Sedangkan POS adalah Product of Sum, Yang memetakan perkalian dari penjumlahan, disebut sebagai bentuk Maxterm yang memetakan Πmi, Adapun bentuk minterm dan maxterm mempunyai 2 atau lebih variable.
 |
| Gambar 1. Tabel kebenaran |
Bentuk Minor (Minterm) / Sum of Product (SOP) adalah bentuk suku dalam persamaan yang memiliki hubungan operasi AND antar variabel secara lengkap dan antar suku dihubungkan dengan OR. Logika Output yang diambil adalah 1.
Cara membuat gerbangnya adalah dengan mendisain tabel kebenarannya, baru dari tabel tersebut dibuatkan formula matematikanya dan terakhir dituangkan dalam bentuk gerbang.
Sehingga dari tabel di atas bisa dibuatkan formula matematikanya sebagai berikut :
Bentuk di atas disebut : SUM OF PRODUCT / Bentuk Minor (Minterm)
Gerbang yang didapat adalah seperti terlihat pada gambar 2.
 |
| Gambar 2. Gerbang Minterm |
Bentuk gambar 2 masih dalam bentuk yang tidak efisien dan belum sederhana (tapi benar), sehingga masih bisa disederhanakan menjadi lebih ringkas. Caranya adalah dengan memproses formula matematika dengan menyederhanakannya sebagai berikut :
Sehingga dari persamaan baru tersebut dapat digambarkan gerbang logikanya seperti terlihat pada gambar 3.
 |
| Gambar 3. Gerbang baru setelah disederhanakan. |
Bentuk Maximum (Maxterm) / Product of Sum (POS) Adalah suku dalam persamaan yang memiliki hubungan operasi OR antar variabel secara lengkap. Antar suku dihubungkan dengan operasi AND. Logika Output yang diambil adalah 0.
 |
| Gambar 4. Tabel kebenaran Maxterm |
Dari tabel kebenaran gambar 4, maka dapat dituliskan formulanya dengan mengambil kunci pada F=0, menjadi sebagai berikut :
F1=A’+B’+C à A+B+C’
F2=A’+B+C’ à A+B’+C
F4=A+B’+C’ à A’+B+C
F5=A+B’+C à A’+B+C’
F=(A+B+C’)(A+B’+C)(A’+B+C)(A’+B+C’)
Untuk F=1, maka semua input dibalik nilainya.
Dari hasil yang diperoleh di atas, maka bentuk gerbang logikanya dapat dilihat pada gambar 5.
Komentar
Posting Komentar